物体・流体には「熱容量」があるため，その温度を変えるには時間を要する。これを考えるのが熱応答の問題である。撹拌槽の伝熱問題を例に示すが，これは伝熱係数h を適切にとればどんな状況でも共通である。

表面温度T ₀の加熱・冷却コイルにより，撹拌槽内の液温T を変えることを考える。時間をt [s]とし，液量をV  [kg], 液の熱容量をC_p [J/(kg K)], コイルの伝熱面積をA [m²], コイル−槽液間の伝熱係数をh [J/(m²  s K)]とする。熱収支： （液温の上昇速度）＝（伝熱速度） より，

が基礎式となる。整理すると，

である。τ を「時定数」と呼ぶ。

下図にT ₀ の時間変化に対するT の応答例を示す。

（例１：ステップ応答） 液温T =0℃から，加熱コイル温度を100 ℃に上げ，一定に保つ。

（例２：一定温度上昇） 液温T =0℃から，加熱コイル温度をT ₀= 0.5t で一定速度で上げる。

（例３：指数関数冷却） 液温T =100℃から，加熱コイル温度をT ₀= 100 exp( -0.02t )で指数関数的に低下させる。

（例４：周期変化） 液温T =50℃から，加熱コイル温度をT ₀= 20 sin(0.05t )と周期的に変化させる。

この例でT はτ =50 sだけT ₀ の変化に遅れる。これが時定数の意味である。またステップ応答ではexp型で応答するが，時定数分の時間でステップ変化の63%になることも特徴である。

【例題8】周期変化の熱応答 <therm10.xls>

τ =50 の系において，はじめの液温T =30℃から，加熱・冷却コイル温度を T₀= a sin(bt )と周期的に変化させる場合の液温変化を求めよ。a =10, b =0.04 とする。

系の特性である式(27)とT₀ を微分した次式：

の連立常微分方程式を解く問題となる。図の「微分方程式解法シート」で，セルB5:C5に連立常微分方程式を記述し，初期値をB12:C12に設定してボタンクリックで実行する。結果を図中のグラフで示す。

次に加熱と冷却が同時に起こる系を考える。温度T の撹拌槽内液が，温度T ₁ のヒーターで加熱され，外気温T ₂ で冷却される。

この系の熱収支は次式となる。

である。

【例題9】加熱・冷却槽の温度応答 <therm11.xls>

時定数が τ₁=50, τ₂=200 として，T ₁=T =T ₂ =20 ℃の状態から，ヒーター温T ₁を120℃ に上げた場合，および元に戻した場合のT の応答を示せ。

微分方程式(30)でT ₁を変化させる。図は「微分方程式解法シート」で，セルB5に式(30)を記述する。定数をG2:G5に書くが，このときT ₁についてt =50 sからT ₁= 120, t= 250からT ₁=20とする。ボタンクリックで積分を実行することでT の応答が示される。図中のグラフのように，T はexp型の応答を示す。

【例題10】加熱・冷却槽の温度制御<therm12.xls>
上の例題の系において，T を100℃および80℃に設定するにはT ₁ をどう変化させればよいかを検討せよ。さらに外部条件変化（T ₂を0℃にする）についても示せ。

 T ₁ が制御変数，T が被制御変数のフィードバック制御系の問題である。比例・積分制御系を用いると，ヒーター温度T ₁の設定に関する微分方程式が次式となる。

この式と式(30)の連立常微分方程式を解く問題となる。図が「微分方程式解法シート」で， B5,C5に微分方程式を記述する。G2:G7に諸パラメータを書く。ここでT _setがT の目標値で，はじめは100, t =250 sから80とする。また外部条件変化のため，T ₂をt =450 s以降 0 とする。ボタンクリックで実行すると，A,B列にT , T ₁の経時変化が得られる。図中のグラフの破線がT ₁であり，T に関する初期設定，設定値の変化(t >250)および外部条件の変化(t >450)に対応するT ₁の変化の様子が示されている。