化学工学基礎　非定常収支モデル

非定常収支モデル

ある系の物質量や熱の収支は、

（蓄積）＝（流入）－（流出）＋（発生）－（消費）

で定式化される。しかし、プロセスの場合は流入、流出が速度なので、すべての項を速度であらわす。

（系内の増加量）＝（流入速度）－（流出速度）＋（生成速度）－（消費速度）

すなわち、

と書ける。定常プロセスでは左辺が0であったが、このように非定常プロセスの記述は時間t に関する微分方程式となる。微分方程式を解くには階数に応じた境界条件、初期条件が必要であるが、この章では１階の微分方程式だけなので、初期条件だけ与えればよい。

タンク内の液量

流入・流出をともなうタンクが最も基礎的な非定常物質収支のモデルである。

V をタンク内の液量として、容積を基準とした物質収支は、

である。

【例】タンクに水が一定流量q =0.05 m³/sで流入している。t =0からタンクの漏れが進行し、流出量がq' =0.0025 t で増加している。初めタンク内液量がV =1.2 m³ であったとき、V の時間変化を求める。　(Felder p. 548)

【解】微分方程式、初期条件が
　　　　
である。変数分離して、積分する。

タンクとバルブの系の液面高さ

タンクの断面積をA 、液面高さをh とすると、V =Ah である。流出ラインにバルブが設置されている。このような場合一般に流出量q' は液面高さh に比例しバルブの抵抗R に反比例する。

物質収支式を液面高さh で書くと、

【例】底面積 A =2 m²のタンクがある。初めは流入量q =1 m³/sの状態で液面高さがh = 5 mで定常状態にあった。t =0でq =2 m³/sに変えると液面高さはどうなるか。

【解】基礎式はである。初めの状態は定常なので、(dh/dt)=0, h =5, q =1 より、R =5。

微分方程式、初期条件：

を解く。　変数分離して、　

図のように流量q　をステップ状に変化させると、次の定常状態に指数関数的に変化する。流量を入力、液面高さh　を出力とみれば、ステップ入力に対する指数関数的応答は多くの現象にみられる。このような系を一般に一次遅れ系とよぶ。

非定常熱収支

１成分系で流入・流出および熱の発生、消費がある場合の系の熱収支は次式となる。

T :系の温度、M :質量、C_p :熱容量、ｖ：流出・流入速度、Q :熱の発生、消費速度

【例】180 L (180 kg)、温度T [K]の水槽に50℃(323 K)のお湯が 0.15 L/s(=0.15 kg/s)で流れ込み、同じ流量で流出している。外気温が0℃(273 K)であり、水槽から外気への熱のロスが：
であらわせるとする。時間t =0でT =295 K (20 ℃)であるとき、水槽の温度はどう変化するか。