方程式を解く－連立一次方程式、非線形方程式－
連立一次方程式の解法
気象予測など最先端の数値計算もその中身は連立一次方程式を解くことに帰着されている。スーパーコンピュータの世界でも巨大な連立一次方程式をいかに早く解くかが競われている。
連立一次方程式を行列形式で書くと次式。
（[A]はn次正方行列。
。{a}はn次ベクトル。）
この両辺に左から[A]-1をかけると、
[A] -1[A]{x}=([A] -1[A]){x}=[A] -1{a}
すなわち、{x}=[A]-1{a}となり、係数行列の逆行列を求めることがこの連立一次方程式を解くことになる。
逆行列を求めるには「掃き出し法(sweep out method)」による。それは以下の手順である。
（１） aiiが1となるようI行目をaiiで割る。（この中心となる対角成分をピボットpivotという。）
（２） j行目(j≠ i)のk成分に対して-aji×ajkを加える。(k=1～n)これにより i列目の成分はaiiが1となり、他はaji=0となる。
（３） もしaii=0の場合は適当な行をI行目に定数倍して加えるか、行交換してaji≠0とする。
【例】連立一次方程式：
を消去法と逆マトリックスを求める方法（掃き出し法）を比較して解く。
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式番号 |
消去法 |
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① ② ③ |
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①÷3=④ ②-2×④=⑤ ③-(-2) 2×④=⑥ |
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④-(-4/3) ×⑧=⑦ ⑤÷23/3=⑧ ⑥-(1/3) ×⑧=⑨ |
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⑦-(22/23) ×⑫=⑩ ⑧-(5/23) ×⑫=⑪ ⑨+(-17/23)=⑫ |
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解 |
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なお、実際の数値計算では
（[A]の横{a}を並べてn×(n+1)次マトリックスとしたもの。拡大係数マトリックスという。）に基本変形をほどこす計算をおこなう。その結果は{a}の列が解となる。
【実習】表計算の行列計算の機能を使って上式を解く。Excelには逆行列関数MINVERSE(配列範囲)と行列の積を求める関数MMULT(配列1,配列2)がありこれで連立一次方程式を解くことができる。これらの式は特殊な「配列数式」で入力する。（解を記入するセル範囲を選択→(数式)の入力→Ctrl+Shift+Enter）
非線形方程式（１変数）の解法
①２分法：確実に解が得られる
手順１ f (x1), f (x2)が反対の符号を持つように区間[x1,
x2]を選ぶ
手順２ x1とx2の中間の値 x* を選び，f (x*)がf
(x2)と同じ符号ならx2の第二の近似値x2 (2)
を x2 (2) = x*、x1の第二の近似値x1
(2) を x1 (2) = x1 として新しい区間とする。符号が反対なら、x1
(2) = x*、x2 (2) = x2。以降これを繰り返す。
②逐次代入法：
の解を求める場合、この式を
として、xの初期値x(1) から、
で次の値x(2)
を計算し、以降繰り返す。解が求まる条件はg(x)の傾きの絶対値g’(x)が1より小さいことである。（図参照）
【実習】逐次代入法で
van der Waals式：
（R=8.31×10-6 m3-MPa/(mol-K), a=3.65×10-7 MPa-(m3/mol)2,
b= 4.28 ×10-5 m3/mol）
により、T=280 K, P= 5 MPaにおける炭酸ガスのモル容積v [m3/mol]を求める。
式を変形して：
例えば、v(1)=1×10-3 m3/molから出発して、繰り返し計算をおこなう。
③Steffensenの反復法：お薦め
１ 方程式 を
に変形，
２ 初期値X0 を選び n=0 とおく
３ x0=X0とおき，x1=g(x0),x2=g(x1)
を計算する
４ Xn+1=Xn-(x1-x0)2/(x2-2x1+x0)
を計算し，n=n+1として３に戻る
５ Xn+1 の値を解αの近似値とする
特徴：g'(α)>1 でも収束する。またNewton法に比べて導関数の値を必要としない。
を解く。
である。
