回分式濃縮操作での原液濃度の時間変化を考える。タンク内の原液容積をV
、タンク内原液の溶質濃度をCbとする。いずれも初期の値を添え字0であらわす。膜モジュールに原液を供給し、圧力をかけて膜透過させる。このとき透過液の透過速度はv
(=JvA)で一定とする。この分離膜の溶質阻止率をRとする。液量Vについての収支より、
膜プロセス解析法 回分濃縮プロセス
回分式濃縮操作での原液濃度の時間変化を考える。タンク内の原液容積をV
、タンク内原液の溶質濃度をCbとする。いずれも初期の値を添え字0であらわす。膜モジュールに原液を供給し、圧力をかけて膜透過させる。このとき透過液の透過速度はv
(=JvA)で一定とする。この分離膜の溶質阻止率をRとする。液量Vについての収支より、
である。(t
は時間）また、溶質について物質収支をとると次式となる。
すなわち
これを初期値V0, Cb0で積分すると、
となる。
【例題】濃度Cb0= 50 mol/m3のアミノ酸水溶液V0= 1 m3をナノ濾過膜を用いた濃縮操作により濃縮する。この膜モジュールの透過速度はv=1×10-4 m3/sとなるよう操作し、そのときのアミノ酸阻止率は R =0.9である。原液のアミノ酸濃度が２倍になるための処理時間を求めよ。
実際の操作では膜モジュールの透過流束Jvが原液濃度Cbにより変化する場合が多い。（すなわち：
Jv=f (Cb)。）操作圧力ΔP一定の条件のもとでの濃縮操作において、透過流束Jvが変化する場合の取り扱いを考える。この場合透過速度v、すなわちdV/dt
が一定ではないので、
が追加の微分方程式となる。この式と上の操作と同様に：
とを連立させて解くことで、タンク中の濃度Cbの経時変化が計算できる。
【例１】膜面積A
=7.4 m2の逆浸透膜モジュールにより、初期原液量
V0=400 kg、初期濃度Cb0=
20 g/kg-溶液 のショ糖水溶液に対して濃縮操作をおこなう。操作圧力ΔP=
1.5 MPa、膜の阻止率はR =1とする。あらかじめ全循環操作で膜透過流束Jv
[kg/(m2･h)]と原液濃度（＝膜面濃度）Cbとの関係を調べたところ、右図の関係にあり、ΔP=1.5
MPaでは：
であらわせた。タンク内原液濃度Cbの経時変化を計算する1)。
時間変化する関数はCbとＶのふたつである。これらに関する微分方程式は以下のようである。
上式は 
のことであるから、これにより(dV/dt)の式のCbに置き換えるとVについての微分方程式となる。
これを t =0; Cb=20, V = 400 の条件で解く。結果を下図に示す。
<memb25.xls> <memb25_temp.xls>
【例２】限外濾過でゲル分極モデルが適用される場合を考える。ゲル分極モデル式をJvに適用して、
である。。溶質の収支より、
を上式に代入して、微分方程式が次式となる。
チーズホエーの限外濾過膜モジュールによる濃縮操作ではA= 20 m2, k=4, Cg= 300 kg/m3、濾過始めの濃度Cb0=13.6 kg/m3, 液量 V0=1000 kgであった。これを数値的に解いた結果を示したのが図である。
