，同じく x +Δx 面を通過するQは，
である。両者の差がこの体積のΔt
時間での温度上昇ΔT に必要な熱量:ρCpΔT Δx Δy Δz [J]に等しいことから，
よって，
これが１次元非定常伝導伝熱の基礎式で，時間 t と位置 x に関する偏微分方程式である。
| ２ 非定常伝熱 |
１次元非定常伝導伝熱
非定常の伝導伝熱を考える。x
方向のみ考えると，Δx, Δy, Δz の立体要素につき， x 面を通過する伝熱量 Q [J/s=W]は，
，同じく x +Δx 面を通過するQは，
である。両者の差がこの体積のΔt
時間での温度上昇ΔT に必要な熱量:ρCpΔT Δx Δy Δz [J]に等しいことから，
よって，
これが１次元非定常伝導伝熱の基礎式で，時間 t と位置 x に関する偏微分方程式である。
この基礎式を差分化する。整数P , n により時間をt =P Δt , 位置をx =n
Δx で区切り， TnP を数値解における温度（節点値）とする。節点の位置はn
=0 が材料の中心，n =10が表面である。基礎式の各項は以下のように差分化される。
差分化された基礎式は次式となる。
また，材料中心（n
=0）における境界条件は(∂T /∂x )=0 の条件，すなわち中心(節点n
=0)を通るFluxは零である。すると (Δx/2) 幅の中心区間における単位幅当たり熱収支：（体積）×(温度変化) =
(表面積)×(0-1間のFlux)より，
である。なお，数値解が発散しないための条件は，Θx <1/2 であるので，ここでは Δt = 5 s とする。
【例題1】１次元非定常伝導伝熱（板状材料の冷却）
厚さ0.02 m，板幅 l =0.2m ×0.2 mの板状材料の冷却を考える。材料初期温度を100℃とする。十分に撹拌した0℃の水に漬けたとして材料内部の温度変化を求めよ。材料(アクリル)の密度 ρ =1180 kg/m3, Cp =1.38×103 J/(kg K), λ =0.15 J/(m s K), α = 9.21×10-8 m2/sである。
時間t =0で材料表面温度が0℃として，非定常１次元伝導伝熱の基礎式(1)を差分法で解く。Δx =0.001 m である。図のシートで1, 2行がn と節点座標，セルO1:O4が式(2)中の定数である。A列が時間t で，経時変化を表す。5行が初期値で，n =10（表面）(L5)がT =0, 材料内部はT =100である。B6に式(3)を，C6:K6の各セルに式(2)を記述し，L6は”=L5”としてこの行を下にコピーする。これで材料内部温度の経時変化が求められる。図中のグラフで5分毎の温度変化を示す。
【参考】このシートはフーリエ解析による解と差分法の解を比較したもの。
非定常１次元 伝導伝熱(円柱座標)
円柱状固体内の非定常伝導伝熱では，１次元での温度 T (r, t )の時間t [s]による変化を表す基礎式が，
(4) である。整数 P, n により時間をt =PΔt, 位置をr = n
Δr で区切り， TnP
を数値解における温度（節点値）とする。これより式(4)を差分化した式が次式となる。
なお，中心では (Δr /2) 半径 の円柱で（体積）×(温度変化) = (表面積)×(0-1間のFlux)より，
【例題2】円柱の伝熱<therm14.xls>
直径0.02 mの棒状材料の冷却を考える。材料初期濃度T =100℃, 材料表面の温度 T =0℃のとき材料内温度の経時変化を計算せよ。材料の熱拡散率α= 9.21×10-8 m2/s, Δr =0.01 m, Δt = 2.5 s とする。
図のシートで1, 2行がn と節点座標，セルO1:O4が式(5)中の定数である。A列が時間t で，経時変化を表す。5行が初期値で，n
=10（表面）(L5)がT =0, 材料内部はT
=100である。B6に式(6)を，C6:K6の各セルに式(5)を記述し，L6は”=L5”としてこの行を下にコピーする。これで材料内部温度の経時変化が求められる。
非定常１次元 伝導伝熱(球座標)
球状材料内の非定常伝導伝熱では，半径方向座標r における温度 T (r, t )の時間t
[s]による変化を表す基礎式が，
である。
この基礎式を差分化する。整数
P, n により時間をt =PΔt, 球の中心からの位置をr = n Δr
で区切り， TnP を数値解における温度（節点値）とする。これより式(7)を
時間P の値から，次の時間(P+1)の値を求める式が次式となる。
また，球中心区間(n =0)では径 (Δr /2) の球についての熱収支：（体積）×(温度変化) =
(表面積)×(Flux) より，
この式の初期温度T0からの解析解は次式である。
【例題3】球の伝熱<therm15.xls>
半径 R = 0.02 mの球状材料の冷却を考える。材料初期濃度T 0 =100℃, 材料表面の温度 T s=0℃としたときの材料内温度の経時変化を差分法で計算せよ。材料（アクリル）の熱拡散率 α = 9.21×10-8 m2/s, Δr =0.01 m, Δt = 2.5 s とする。
図がExcelシートである。B列が球中心（式(11)），L列が球表面で，時間刻みΔt =2.5 s毎に次の時間の温度を計算する。 計算結果を図中のグラフで示す。グラフ中にt = 120 sでの解析解と比較した。中心温度で比較すると，この数値解が64.1℃，解析解 が64.6℃である。
無限媒体中への非定常１次元伝導伝熱（球座標）
上とは逆に温度一定の球から，無限媒体中への伝導伝熱を考える。基礎式，差分式は上と同じで，初期条件は媒体全体でT = T
0，境界条件がr =R ; T =T s およびr =
∞; T =T 0である。なお，定常値(t =∞)は解析解が得られ，
である。
【例題4】 T 0 = 0℃のブロック状材料（アクリル）の中心に半径 R = 0.005 mの球状の穴があり，その内部をT s = 100 ℃に保つ。材料内温度の経時変化を差分法で計算せよ。
解）下図がこれを解いたExcelシート
